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negative exponents for an arbitrary group $G$ ). In general, we don't know if any simplification is possible, beyond obvious ones such as $g_{i} g_{i} g_{i}=g_{i}^{3}$ or $g_{i} g_{i}^{-1}=1$, which can be omitted. However, if $G$ is abelian, or more generally if the $g_{i}$ commute with each other (i.e. for all $i, j$ with $1 \leq i, j \leq k$, $g_{i} g_{j}=g_{j} g_{i}$ ), then it is easy to check that
is a subgroup of $G$ and it is the smallest subgroup of $G$ containing $g_{1}, \ldots, g_{k}$. This should look more familiar if we write the operation on $G$ as + , so that $G$ is abelian by convention. Then
Thus, the group generated by $g_{1}, \ldots, g_{k}$ is analogous to the span of $k$ vectors in linear algebra (for an abelian group with the operation denoted by + ).
Example 3.3.1. (i) 群 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 由 ( 1,0 ) 和 ( 0,1 ) 生成，因为对于每个 $n, m \in \mathbb{Z}$， $(n, m)=n \cdot(1,0)+m \cdot(0,1)$。因此 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}=\langle(1,0),(0,1)\rangle$。
(ii) 有限群 $(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}) \times(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})$，正如我们所见，它不是循环群，由 ([1], [0]) 和 ([0], [1]) 生成。事实上，除了 ([0], [0]) 之外，$\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ 中唯一剩下的元素是 ([1], [1])，并且 $([1],[1])=1 \cdot([1],[0])+1 \cdot([0],[1])$。因此 $(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}) \times(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})=\langle([1],[0]),([0],[1])\rangle$。
(iii) 对于一个非阿贝尔的例子，群 $D_{n}$ 由 $A_{2 \pi / n}$ 和 $R=B_{0}$ 生成，即 $D_{n}= \left\langle A_{2 \pi / n}, R\right\rangle$。这仅仅意味着 $D_{n}$ 的每个元素都可以写成 $A_{2 \pi / n}$ 和 $R$ 的幂的乘积（可能涉及许多项）。这样的表达式会是
尽管它可能以 $A_{2 \pi / n}$ 的幂开始，或者以 $R$ 的幂结束。事实上，在这个群中，我们可以简化任何这样的表达式，利用 $R^{2}=1$ 和 $R A_{2 \pi / n} R=A_{-2 \pi / n}$，这样我们只需要使用两项。明确地，对于所有 $0 \leq a \leq n-1$ 的 $a$， $A_{2 a \pi / n}=A_{2 \pi / n}^{a}$ 和 $B_{2 a \pi / n}=A_{2 \pi / n}^{a} R$，因此
$D_{n}=\left\{A_{2 a \pi / n}, B_{2 b \pi / n}: a, b \in \mathbb{Z}, 0 \leq a, b \leq n-1\right\}=\left\{A_{2 a \pi / n}, A_{2 b \pi} / n R: a, b \in \mathbb{Z}, 0 \leq a, b \leq n-1\right\}$。
(iv) 从乘法规则中很容易验证四元数群 $Q$ 由 $i$ 和 $j$ 生成，即 $Q=\langle i, j\rangle$。
Definition 3.3.2. 如果存在 $g_{1}, \ldots, g_{k} \in G$ 使得 $G=\left\langle g_{1}, \ldots, g_{k}\right\rangle$，则群 $G$ 是有限生成的。
我们注意到有许多众所周知的群不是有限生成的。例如，$\mathbb{Q}, \mathbb{Q}^{*}, \mathbb{R}, \mathbb{R}^{*}$ 不是有限生成的。另一方面，每个有限群都是有限生成的，因为我们可以使用其所有有限多个元素来生成它。当然，在实践中，我们寻找一组有趣的生成元来了解群的一些信息。例如，正如我们上面所看到的，$D_{n}$ 由两个元素的集合生成。稍后我们将看到 $S_{n}$ 也由两个元素生成。
在本节中，我们将列出一些小阶群的群表，并说明它们子群的一些事实（不加证明）。此外，我们将只列出 $G$ 的真、非平凡子群。为了简洁和记号清晰，在书写 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 的元素时，我们将省略括号，对于 $0 \leq a \leq n-1$，只写 $a$ 而不是 $[a]$。但是，请记住，作为 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 的一个元素，$a$ 与整数 $a$ 的含义不同。虽然我们已经列出了所有阶至多为 4 的群的群表，但在这里我们将关注可能的子群。请注意，$\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ 或 $\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z}$ 的唯一真子群是平凡子群 $\langle 0\rangle=\{0\}$，所以我们将从阶为 4 的群开始。
阶为 4 的两个群（同构意义下）：(i) $\mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z}$：
| + | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 0 | 1 | 2 |
除了平凡子群外，$\mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z}$ 有一个阶为 2 的真子群： $\langle 2\rangle$。
(ii) 克莱因四元群 $V$ (同构于 $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ )：
| $\cdot$ | $e$ | $a$ | $b$ | $c$ |
|---|---|---|---|---|
| $e$ | $e$ | $a$ | $b$ | $c$ |
| $a$ | $a$ | $e$ | $c$ | $b$ |
| $b$ | $b$ | $c$ | $e$ | $a$ |
| $c$ | $c$ | $b$ | $a$ | $e$ |
除了平凡子群外，$V$ 有三个阶为 2 的真子群： $\langle a\rangle,\langle b\rangle$，和 $\langle c\rangle$。
阶为 5 的唯一群（同构意义下）： $\mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z}$：
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
$\mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z}$ 除了平凡子群外没有真子群。
阶为 6 的两个群： (i) $\mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z}$：
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 5 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 5 | 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
$\mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z}$ 的真、非平凡子群：有一个阶为 2 的子群，即 $\langle 3\rangle$，以及一个阶为 3 的子群，即 $\langle 2\rangle$。
(ii) $D_{3}=S_{3}$ 的群表：假设等边三角形的顶点在 $\mathbf{v}_{1}=(1,0)=(\cos 0, \sin 0)$、$\mathbf{v}_{2}=(\cos 2 \pi / 3, \sin 2 \pi / 3)$ 和 $\mathbf{v}_{3}=(\cos 4 \pi / 3, \sin 4 \pi / 3)$ 处。令 $\rho=\rho_{1}$ 为逆时针旋转 $2 \pi / 3$ 角，$\rho_{2}=\rho^{2}=\rho^{-1}$ 为逆时针旋转 $4 \pi / 3$ 角，或等效地顺时针旋转 $2 \pi / 3$ 角。因此，在练习 1.28 的记号中，$\rho=A_{2 \pi / 3}$ 和 $\rho_{2}=\rho^{2}=A_{4 \pi / 3}$。令 $\tau=\tau_{1}$ 为关于点 $\mathbf{v}_{1}$ 的反射，即 $\tau_{1}$ 固定 $\mathbf{v}_{1}$ 并交换 $\mathbf{v}_{2}$ 和 $\mathbf{v}_{3}$，$\tau_{2}, \tau_{3}$ 类似。在练习 1.28 的记号中，$\tau=R=B_{0}$。然后可以验证：$\rho_{1} \tau_{1}=\tau_{3}$ 和 $\rho_{2} \tau_{1}=\tau_{2}$。因此，$\tau_{3}=A_{2 \pi / 3} R=B_{2 \pi / 3}$ 和 $\tau_{2}=B_{4 \pi / 3}$。显然 $\rho^{3}=1$ 且对于所有 $i$，$\tau^{2}=\tau_{i}^{2}=1$。因此 $D_{3}$ 的每个元素都可以写成乘积 $\rho^{a} \tau^{b}$，其中 $a=0,1,2$ 和 $b=0,1$，事实上这种表示是唯一的。此外，通过直接验证，可以证明
我们也可以写成
这个方程告诉我们如何在 $D_{3}$ 中乘法任意两个元素。例如，
$D_{3}$ 的群表如下：
| $\cdot$ | 1 | $\rho_{1}$ | $\rho_{2}$ | $\tau_{1}$ | $\tau_{2}$ | $\tau_{3}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | $\rho_{1}$ | $\rho_{2}$ | $\tau_{1}$ | $\tau_{2}$ | $\tau_{3}$ |
| $\rho_{1}$ | $\rho_{1}$ | $\rho_{2}$ | 1 | $\tau_{3}$ | $\tau_{1}$ | $\tau_{2}$ |
| $\rho_{2}$ | $\rho_{2}$ | 1 | $\rho_{1}$ | $\tau_{2}$ | $\tau_{3}$ | $\tau_{1}$ |
| $\tau_{1}$ | $\tau_{1}$ | $\tau_{2}$ | $\tau_{3}$ | 1 | $\rho_{1}$ | $\rho_{2}$ |
| $\tau_{2}$ | $\tau_{2}$ | $\tau_{3}$ | $\tau_{1}$ | $\rho_{2}$ | 1 | $\rho_{1}$ |
| $\tau_{3}$ | $\tau_{3}$ | $\tau_{1}$ | $\tau_{2}$ | $\rho_{1}$ | $\rho_{2}$ | 1 |
$D_{3}$ 的真、非平凡子群：有一个阶为 3 的子群： $\left\langle\rho_{1}\right\rangle=\left\langle\rho_{2}\right\rangle$。有 3 个阶为 2 的子群： $\left\langle\tau_{1}\right\rangle,\left\langle\tau_{2}\right\rangle$，和 $\left\langle\tau_{3}\right\rangle$。
阶为 8 的两个非阿贝尔群： (i) 二面体群 $D_{4}$：这里有四个旋转 $1, \rho=\rho_{1}, \rho_{2}=\rho^{2}, \rho_{3}=\rho^{3}$，角度分别为 $0, \pi / 2=2 \pi / 4, \pi=4 \pi / 4$ 和 $3 \pi / 2=6 \pi / 4$，以及关于正方形的两个对角线的反射 $\tau=\tau_{1}$ 和 $\tau_{2}$（$\tau_{1}$ 用于连接顶点 1 和 3 的对角线，$\tau_{2}$ 用于连接顶点 2 和 4 的对角线），以及关于一对边垂直平分线的反射 $\mu_{1}, \mu_{2}$ （$\mu_{1}$ 用于平分线段 $\overline{12}$ 和 $\overline{34}$ 的反射，
$\mu_{2}$ 用于平分线段 $\overline{14}$ 和 $\overline{23}$ 的反射）。可以验证 $\rho \tau=\rho_{1} \tau_{1}=\mu_{1}, \rho^{2} \tau=\rho_{2} \tau_{1}=\mu_{1}$。当然，我们也可以用 $A_{k \pi / 2}$ 和 $B_{k \pi / 2}$ 来表示它们：$\rho=A_{2 \pi / 4}=A_{\pi / 2}, \rho_{k}=A_{2 k \pi / 4}=A_{k \pi / 2}, \tau=\tau_{1}=R=B_{0}, \tau_{2}=B_{\pi}, \mu_{1}=B_{\pi / 2}, \mu_{2}=B_{3 \pi / 2}$。关系是 $\rho^{4}=1, \tau^{2}=1$，和 $\tau \rho \tau=\rho^{-1}=\rho^{3}$，或等效地 $\tau \rho=\rho^{3} \tau$。
| $\cdot$ | 1 | $\rho_{1}$ | $\rho_{2}$ | $\rho_{3}$ | $\tau_{1}$ | $\tau_{2}$ | $\mu_{1}$ | $\mu_{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | $\rho_{1}$ | $\rho_{2}$ | $\rho_{3}$ | $\tau_{1}$ | $\tau_{2}$ | $\mu_{1}$ | $\mu_{2}$ |
| $\rho_{1}$ | $\rho_{1}$ | $\rho_{2}$ | $\rho_{3}$ | 1 | $\mu_{1}$ | $\mu_{2}$ | $\tau_{2}$ | $\tau_{1}$ |
| $\rho_{2}$ | $\rho_{2}$ | $\rho_{3}$ | 1 | $\rho_{1}$ | $\tau_{2}$ | $\tau_{1}$ | $\mu_{2}$ | $\mu_{1}$ |
| $\rho_{3}$ | $\rho_{3}$ | 1 | $\rho_{1}$ | $\rho_{2}$ | $\mu_{2}$ | $\mu_{1}$ | $\tau_{1}$ | $\tau_{2}$ |
| $\tau_{1}$ | $\tau_{1}$ | $\mu_{2}$ | $\tau_{2}$ | $\mu_{1}$ | 1 | $\rho_{2}$ | $\rho_{3}$ | $\rho_{1}$ |
| $\tau_{2}$ | $\tau_{2}$ | $\mu_{1}$ | $\tau_{1}$ | $\mu_{2}$ | $\rho_{2}$ | 1 | $\rho_{1}$ | $\rho_{3}$ |
| $\mu_{1}$ | $\mu_{1}$ | $\tau_{1}$ | $\mu_{2}$ | $\tau_{2}$ | $\rho_{1}$ | $\rho_{3}$ | 1 | $\rho_{2}$ |
| $\mu_{2}$ | $\mu_{2}$ | $\tau_{2}$ | $\mu_{1}$ | $\tau_{1}$ | $\rho_{3}$ | $\rho_{1}$ | $\rho_{2}$ | 1 |
(ii) 四元数群 $Q$，由下表给出：
| $\cdot$ | 1 | -1 | $i$ | $-i$ | $j$ | $-j$ | $k$ | $-k$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | -1 | $i$ | $-i$ | $j$ | $-j$ | $k$ | $-k$ |
| -1 | -1 | 1 | $-i$ | $i$ | $-j$ | $j$ | $-k$ | $k$ |
| $i$ | $i$ | $-i$ | -1 | 1 | $k$ | $-k$ | $-j$ | $j$ |
| $-i$ | $-i$ | $i$ | 1 | -1 | $-k$ | $k$ | $j$ | $-j$ |
| $j$ | $j$ | $-j$ | $-k$ | $k$ | -1 | 1 | $i$ | $-i$ |
| $-j$ | $-j$ | $j$ | $k$ | $-k$ | 1 | -1 | $-i$ | $i$ |
| $k$ | $k$ | $-k$ | $j$ | $-j$ | $-i$ | $i$ | -1 | 1 |
| $-k$ | $-k$ | $k$ | $-j$ | $j$ | $i$ | $-i$ | 1 | -1 |
请注意，$D_{4}$ 中有两个阶为 4 的元素 $\rho_{1}$ 和 $\rho_{3}$，以及五个阶为 2 的元素 $\rho_{2}, \tau_{1}, \tau_{2}, \mu_{1}$ 和 $\mu_{2}$。然而，在 $Q$ 中，有六个阶为 4 的元素 $\pm i, \pm j$ 和 $\pm k$，以及一个阶为 2 的元素，即 -1 。特别地，我们看到 $D_{4}$ 和 $Q$ 不同构。
至于（真、非平凡）子群，$Q$ 有三个阶为 4 的子群，它们都是循环群： $\langle i\rangle,\langle j\rangle$，和 $\langle k\rangle$。（请注意，例如 $\langle i\rangle=\left\langle i^{-1}\right\rangle=\langle-i\rangle$。）有一个阶为 2 的子群： $\langle-1\rangle$。
在 $D_{4}$ 中，有五个阶为 2 的子群： $\left\langle\rho_{2}\right\rangle,\left\langle\tau_{1}\right\rangle,\left\langle\tau_{2}\right\rangle,\left\langle\mu_{1}\right\rangle$，和 $\left\langle\mu_{2}\right\rangle$。$D_{4}$ 有三个阶为 4 的子群。其中一个是循环群，即 $\left\langle\rho_{1}\right\rangle=\left\langle\rho_{3}\right\rangle$。另外两个是 $\left\{1, \rho_{2}, \tau_{1}, \tau_{2}\right\}$ 和 $\left\{1, \rho_{2}, \mu_{1}, \mu_{2}\right\}$；两者都同构于克莱因四元群 $V$。
Exercise 2.1. 下列哪些是同构？为什么？
(a) $f:(\mathbb{R},+) \rightarrow(\mathbb{R},+)$ 定义为 $f(x)=x^{3}$。
(b) $f:\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right) \rightarrow\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right)$ 定义为 $f(x)=x^{3}$。
(c) $f:\left(\mathbb{Q}^{*}, \cdot\right) \rightarrow\left(\mathbb{Q}^{*}, \cdot\right)$ 定义为 $f(x)=x^{3}$。
(d) $f:\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right) \rightarrow\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right)$ 定义为 $f(z)=z^{3}$。
(e) $f:\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right) \rightarrow\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right)$ 定义为 $f(z)=1 / z$。
(f) $f:(\mathbb{Z},+) \rightarrow(\mathbb{Z},+)$ 定义为 $f(n)=2 n$。
(g) $f:(\mathbb{Q},+) \rightarrow(\mathbb{Q},+)$ 定义为 $f(x)=2 x-1$。
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